Hur räknar man derivatan

•

Genom att föra in dina resultat i en teckentabell får du en tydlig blid över grafens utseende. Det leder till att det blir enklare att göra en korrekt skiss av kurvan och dra korrekta slutsatser.

Exempel 1

Skissa kurvan $f\left(x\right)=x^3-1,5x^2-6x$()=³−1,5²−6 med hjälp av en teckentabell.

Lösning

En teckentabell kan se lite olika ut, men ett sätt är så här. Vi skriver till höger en kolumn med några värden vi vill undersöka.

Börja med att beräkna derivatans nollställen. $f\left(x\right)=x^3-1,5x^2-6x$()=³−1,5²−6 har derivatan $f'(x)=3x^2-3x-6$’()=3²−3−6. Vi sätter derivatan lika med noll får att bestämma extrempunkterna.

$3x^2-3x-6=0$3²−3−6=0

$x^2-x-2=0$²−−2=0

$x_{1,2}=$_1,2=$\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(-2\right)}$12±√(12)²−(−2)

$x_{1,2}=$_1,2=$\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}}$12±√94

$x_{1,2}=$_1,2=$\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}$12±32

$x_1=-1$₁=−1 och $x_2=2$₂=2

Vi fyller i derivatans nollställen i tabellen enlig

•

Deriveringsregler

Tidigare lärde vi oss hur formeln för derivatans definition fungerar och hur vi med hjälp av den kan beräkna derivatan i en viss punkt för en given funktion. Dock kan det vara klumpigt att behöva återvända till derivatans definition varje gång man ska derivera (räkna ut gränsvärden för) en funktion.

Derivatan betecknas olika i olika litteratur. T ex $f '(x)$ och $ \frac{d(f(x))}{dx}$ . Här använder vi $f '(x)$. Beteckningen $ \frac{d(f(x))}{dx}$ kallas deriveringsoperator som påförs en funktion $f(x)$.

Det finns deriveringsregler som kan härledas utifrån derivatans definition och sedan används för att beräkna derivatan för ett antal vanligt återkommande funktioner.

I tidigare avsnitt beräknade vi derivatan i en punkt. Nu skall vi beräkna derivatan för alla x i funktionens hela definitionsmängd. Då ersätter man punkten a med variabeln x. Derivatan blir då i sig en funktion i samma definitionsmängd.

Men innan vi börjar kolla på deriveringsreglerna tar

•

Derivata

Som vi kom fram till i det föregående avsnittet, är en tangent en linje som sammanfaller med kurvan endast i en punkt och i denna punkt har samma lutning som kurvan. När vi låter två punkter på kurvan närma sig varandra alltmer, så kommer sekantens lutning att närma sig tangentens lutning. När vi låter avståndet mellan punkterna gå mot noll kommer sekanten att övergå i tangenten. Det gränsvärde av ändringskvoten (sekantens/tangentens lutning) som vi då kan beräkna kallas för funktionens derivata i den punkten.

Vi har tidigare i kursen träffat på gränsvärden, men den gången handlade det om att hitta gränsvärden gällande funktionsvärden då en variabel närmar sig ett visst värde. Denna gång använder vi oss av beräkning av ett gränsvärde för att hitta tangentens lutning i en punkt. Nedan är ett exempel på en kurva med en tangent i en punkt.

När vi vill uttrycka gränsvärdet för lutningen i punkten (b), som ligger i (2, 3), så skriver vi

$$k= \lim_{x \to 2 } \fra